[수학] 적분의 평균값 정리와 증명

적분의 평균값 정리란?

 

적분의 평균값 정리란 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이면, [a, b] 내의 한 점 c가 존재하여 다음 식이 성립한다는 정리입니다.

$$ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx $$

 

증명

증명은 최대 - 최소 정리와 사잇값 정리를 이용합니다.

 

f가 [a, b]에서 연속이므로

최대 - 최소 정리에 의해 최댓값 M, 최솟값 m을 가집니다.

즉, m<=f(x)<=M

$$ \int_{a}^{b}mdx\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}Mdx $$

$$ m\leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq M $$

f는 [a, b]에서 연속이므로 사잇값 정리에 의해

$$ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx $$

인 c(a<c<b)가 적어도 하나 존재합니다.