[수학] 코시의 평균값 정리와 증명

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코시의 평균값 정리

코시의 평균값 정리는 두 함수 f(x), g(x)가 [a, b]에서 연속(a, b)에서 미분가능일 때 (a, b)에서 g '(x) ≠ 0라고 하면

$$  \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $$를 만족하는 c가 (a, b)에 존재한다는 정리입니다.

위 식은 아래 식과 같다고 할 수 있기 때문에 f와 g의 평균 변화율의 비와 일치하는 순간 변화율의 비를 가지는 지점이 존재한다는 의미로도 볼 수 있습니다. $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}$$

 

코시 평균값 정리는 확장된 평균값 정리라고도 불리며 평균값 정리를 일반화한 버전이라고도 볼 수 있습니다.

위 식에서 g(x)=x일 때가 기존 평균값 정리의 경우입니다.

 

출처 : 위키백과

 

코시의 평균값 정리는 평균값 정리를 미분 가능한 단순 곡선까지 확장시킨 결과입니다.

그러나 곡선의 임계점이 존재하지 않는다는 가정을 없애면 반례가 생긴다고 합니다.

위 그림은 곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다는 것을 보여줍니다.

 

증명

g(a) = g(b)라고 가정한다면 롤의 정리에 의해 g '(d) = 0인 d가 (a, b) 사이에 반드시 존재하게 됩니다. 하지만 이는 코시의 평균값 정리의 조건에 모순이므로 g(a) ≠ g(b)라는 것을 보장할 수 있습니다.

 

새로운 함수 h(x)를 다음과 같이 정의하겠습니다.

$$  h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\left\{ g(x)-g(a)\right\} $$

h(x)는 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능한 함수입니다.

이때, h(x)에 a와 b를 각각 대입하면 h(a) = h(b) = 0입니다.

롤의 정리에 의해 h '(c) = 0인 c가 (a, b)에 반드시 존재합니다.

$$  h'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x) $$ 이므로

$$  h'(c)=0\Leftrightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) $$

$$ \therefore \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $$