[화학] 맥스웰-볼츠만 속력 분포식의 의미 해석

 

맥스웰 - 볼츠만 속력 분포(Maxwell - Boltzmann Distribution of Speed)

맥스웰 - 볼츠만 속력 분포는 특정 온도에서 다양한 속력을 가지는 기체 분자의 속력 분포를 나타내는 식입니다.

 

즉, 어떤 순간에 속력 v를 가진 기체 분자가 얼마나 있을 지 비율을 계산하는 공식입니다.

식의 형태를 먼저 살펴보고 어떤 의미가 있는지 살펴보겠습니다.

 

 

이 식의 의미를 보다 쉽게 해석하기 위해 세 부분으로 나누어 보았습니다.

 

 

1번 사각형은 정규화 상수 정도로 생각하면 될 것 같습니다.

2번 사각형과 3번 사각형이 메인입니다.

그 전에 이 맥스웰 - 볼츠만 확률 분포 그래프를 한 번 봐야겠죠?

 

출처 : https://yjh-phys.tistory.com/1420, 위키백과

 

 

그럼 저 그래프를 보며 다시 해석해보겠습니다.

 

2번 항은 v^2이기 때문에 v가 0에 가까워질 수록 0에 가깝게 아주 작아질 것입니다.

따라서 속력이 아주 낮은 분자의 분율을 매우 낮게 만들어주는 역할을 합니다.

속력이 아주 낮은 분자가 존재할 확률을 매우 낮게 만들어준 것이죠.(윗줄이랑 똑같은 말)

위에 있는 분자 속력에 따른 확률 그래프를 통해 v가 0에 가까울 수록 확률도 0에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다.

 

3번 항은 e^(-x^2) 꼴을 띠고 있습니다.

따라서 x값이 커질수록 값이 작아지는 것이죠.

이를 이용해 v가 아주 큰 분자의 분율을 작게 만들어주고 m이 큰 분자의 분율도 작게 만들어줍니다.

즉, 아주 큰 속력을 가진 분자의 분율을 작게 해주고, 무거운 분자가 큰 속력을 가지기 어렵게 만들어줍니다.

 

T가 큰 경우는 분모의 값이 커져 분수 자체 값은 작아집니다.

그러니까 e^(-x^2) 측면에서 봤을 때 x가 작은 값을 가질 때 전체적인 식의 값은 커진다는 뜻입니다.

이는 v가 커져도 T분모가 어느 정도 감당을 해줄 수 있다는 말입니다.

다시 말하자면 온도가 높을수록 더 많은 분자가 높은 속력을 가질 수 있다는 말이죠.

 

마냥 복잡해 보이던 식이 다음과 같은 의미를 가지고 있었다는 사실이 좀 신기했습니다.

이 식의 해석을 보고 다시 그래프를 보시면 '아 그래서 저런 모양이 나오는구나' 라는 생각이 드실 겁니다.