[수학] 롤의 정리와 증명

롤의 정리(Rolle's theorem)란?

롤의 정리는 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x)에 대해

f(a) = f(b)이면 $${f}'(c)=0$$인 c가 열린 구간 (a,b)에 적어도 하나는 존재한다는 정리입니다.

 

말로 풀어서 보면 미분가능한 함수가 있을 때 함숫값이 같은 두 점이 존재할 경우 그 사이에 접선의 기울기가 0이 되는 점이 적어도 하나 존재하나다는 뜻입니다. 이를 그림으로 나타내보면 다음과 같습니다.

 

증명

이제 이 롤의 정리가 왜 성립하는지 증명해 보겠습니다.

 

• f(x)가 상수함수일 때

구간 내의 임의의 점에 대해 항상 f '(c)=0

 

• f(x)가 상수함수가 아닐 때

f(x)는 열린 구간(a,b)에서 최댓값 또는 최솟값을 가지는 점이 적어도 하나 존재.

( ∵ [a,b]에서 연속인 함수 f(x)는 반드시 최대, 최솟값을 모두 가지는데 만약 (a, b)에 최대, 최솟값이 모두 없다면 구간의 양 끝에서 최댓값과 최솟값을 가져야 한다. 그렇다면 f(a) = f(b) => 최댓값 = 최솟값 이 되기 때문에 f(x)가 상수함수가 되어 조건에 모순이 발생합니다.)

 

c ∈ (a, b)에서 f(x)값이 최대라고 가정해보겠습니다.

적당한 양수 h에 대해 다음 식이 성립합니다. x값이 c일 때 f(x)가 최대이므로 c에서 c+h로 갈 때 기울기는 음수가 되기 때문입니다. $$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0\,, \ \therefore  \displaystyle \lim_{h \to 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0$$

마찬가지로 -h에 대해서 다음 식이 성립합니다. $$\frac{f(c-h)-f(c)}{-h}\geq 0\,, \ \therefore\displaystyle \lim_{h \to 0+}\frac{f(c-h)-f(c)}{-h}\geq 0$$

이때 f는 미분 가능한 함수이므로 좌극한값과 우극한값이 같습니다. $$\displaystyle \lim_{h \to 0+}\frac{f(c-h)-f(c)}{-h} = \displaystyle \lim_{h \to 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$

따라서 위 식의 좌변과 우변에 해당하는 범위에 의해 f '(c) = 0임을 보일 수 있습니다.

c ∈ (a, b)에서 f(x)값이 최소라고 가정했을 때도 위와 같은 과정으로 증명할 수 있습니다.

 

이 롤의 정리를 이용하여 평균값 정리도 증명할 수 있습니다. 평균값 정리는 롤의 정리를 일반화한 정리라고 할 수 있는데요. 이에 관한 얘기는 다음에 다루도록 하겠습니다. 감사합니다!