[수학] 미분의 의미는 무엇일까

우리는 미분과 적분이라는 말을 정말 많이 듣고 문제를 풀 때 사용하기도 했습니다. 그런데 "그래서 미분이 뭐야?" 라는 간단한 질문을 들었을 때는 막상 말을 잘 못하겠더라고요.

그래서 미분에 대한 의미를 한 번 적어보려 합니다. 내용에 오류가 있을 수 있고 표현이 부족할 수 있습니다.

 

미분

미분이라는 말 자체의 의미는 '매우 작게 나눈다' 입니다. 어떤 분은 도형인 원을 아주 얇게 잘라서 직사각형 형태로 이어붙여 원의 넓이 공식을 증명한 경험이 있을 수도 있습니다.

미분의 대상은 정해져 있는 것이 아니기에 여러가지가 될 수 있는데 그 중 우리는 수학적인 측면에서 접근하기 위해 함수에 대해 얘기해보죠!

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함수에서의 미분을 가장 잘 표현하는 말은 '순간변화율'(미분계수)을 구하는 것이라고 생각합니다.

따라서 이 미분계수의 의미를 명확히 알게 된다면 이 글의 목적인 미분의 의미에 대해 파악할 수 있을 것입니다.

 

그렇다면 변화율이 무엇인지 알아봐야겠군요. 우선 '변화율'이라는 말을 풀어보면 '변화하는 비율'입니다.

그러니까 어떠한 a가 변함에 따라 b가 어떻게 변하는가를 나타내준다는 말이죠.

함수에서 사용하는 변화율에는 평균변화율과 순간변화율이 있습니다.

사실 평균 변화율에서 이어지는 것이 순간 변화율이기 때문에 크게 구분지을 필요는 없지만 굳이 종류를 나누자면 저 두 가지가 있겠습니다. 먼저 평균 변화율에 대해 알아보겠습니다.

 

• 평균 변화율

평균 변화율은 곡선 혹은 직선 위에 있는 두 점을 이은 직선의 기울기입니다.

기울기의 정의는 y의 변화량/x의 변화량이기 때문에 기울기는 x가 변함에 따라 y가 어떻게 변하는지 알려줍니다.

아래 사진의 함수 f(x)는 곡선 형태를 띠고 있고 그 함수 위에 A와 B라는 지점이 있습니다.

이때, A지점과 B지점 사이의 평균변화율은 A와 B를 이은 직선의 기울기입니다.

'A지점부터 B지점까지 x가 변화하는 동안 y가 평균적으로 이렇게 변했다' 라는 겁니다.

예시를 들면 훨씬 이해하기 편할 겁니다. x축을 시간 축, y축을 거리 축으로 바꿔보죠.

2시간 동안 A지점부터 B지점까지 100km를 갔으니 평균 속력은 50km/h입니다.

하지만 f(x) 그래프를 보시면 A부터 B까지 쭉 50km만으로 달리고 있는 것은 아닙니다.

계속해서 순간순간은 변하고 있습니다. 그러나 결과적으로 시간의 변화량은 2시간이고 거리의 변화량은 100km이기 때문에 A와 B를 이은 직선의 기울기, 즉 평균 변화율은 50km/h입니다.

평균변화율을 수식적으로 표현하면 아래와 같습니다.

위 식에서 등장하는 △는 델타라고 읽고 변화량을 나타냅니다. 즉 x2(아래첨자) 와 x1 사이의 변화량을 △x라고 표현할 수 있는 거죠.

만약 f(x)가 직선이고 점 P, Q가 그 직선 위의 점이라면 P와 Q를 이은 직선은 f(x)와 같을 것입니다.

따라서 직선의 평균변화율은 자기 자신(직선)의 기울기가 되는 것입니다.

 

• 순간 변화율

순간 변화율은 x=특정한 값, 즉 한 점에서의 변화율을 의미하는 접선의 기울기를 뜻합니다.

아까 위에서 순간 변화율은 평균 변화율에서 이어진다고 했습니다. 그 이유를 한 번 살펴보죠.

두 개의 검은 동그라미가 보이시나요? 두 검은 동그라미의 x좌표의 차이, 즉 △x는 아직 꽤 큰 것 같네요.

한 번 △x를 줄여서 0에 아주 가깝도록 △x를 아주 아주 작게 해볼까요? 두 빨간색 동그라미를 만들어 보았습니다.

어떤 한 점이 다른 한 점에 한없이 가까이 가는 상황을 표현한 것입니다. 

두 빨간색 동그라미는 거의 같은 점이라고 해도 될 정도로 △x가 거의 0에 가깝습니다. 저 부분을 확대해볼까요?

dx와 dy는 설명하기 위해 비교적 크게 그렸지만 실제로는 두 점이 아니라 한 점이나 마찬가지일 정도로 크기가 작습니다. 위 그림처럼 곡선위의 한 점을 골라 무한히 확대해서 보면 점점 곡선의 일부분이 직선과 비슷해진다는 것을 볼 수 있습니다.

곡선도 부분적으로 직선을 포함한다는 느낌인 것이죠. 아래 그림처럼요.

따라서 우리는 평균변화율의 개념에서 △x를 0에 가깝게 줄임으로써 접선의 기울기, 즉 순간변화율을 구할 수 있는 것입니다.

그림을 잘 못 그리는 걸 어쩝니까..

정리하자면 순간변화율은 점 A와 점 B가 있을 때 B가 A에 한없이 가까이 접근하여 거의 한 점에 가까워질 때 두 점 사이의 기울기입니다.

이 때의 두 점 사이의 기울기는 한없이 한 점에서의 접선의 기울기에 가까워지므로 순간변화율은 곧 접선의 기울기라고 할 수 있겠습니다. 이를 수식적으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

lim의 의미는 극한의 개념이므로 쉽게 설명하면 'x가 a에 한 없이 가까워질 때'를 의미합니다.

(위 식에서 △x 대신 사용된 h는 같은 의미이지만 주로 아주 극소량을 표현할 때 사용되어 자주 등장합니다.)

위 식에서 도함수라고 써 있는 부분이 있는데 도함수는 무엇일까요?

 

• 도함수( ≒ 미분)

x값이 변함에 따라 곡선 위 접선의 기울기는 계속 변합니다. 점 하나하나마다 순간변화율을 구하는 것은 무리입니다.

그래서 모든 x에 대해 곡선 위 접선의 기울기를 일반화한 식이 도함수입니다.

어떻게 일반화하느냐? 순간변화율 식에서 점을 a 대신 x로 세워 일반화합니다.

그렇기 때문에 위 사진에 적혀 있는 도함수의 식이 순간 변화율의 식과 거의 똑같은 것입니다.

x값에 대하여 도출되는 y값이 기울기이기 때문에 굉장히 편리합니다.(도함수 값=미분계수)

 

• 마무리

마지막으로 정리하자면 함수의 미분은 순간변화율을 구하는 행위이며 함수의 기울기를 구하는 연산입니다.

지금까지 미분에 대한 기본적인 개념에 대해 얼추 적어보았습니다. 미분은 교과과정에서도 핵심적으로 사용되며 다양한 문제에 적용될 수 있습니다. 그렇기 때문에 미분에 대한 의미를 파악하고 있는 것이 중요하다고 생각합니다. 미분에 대해서는 많은 글들이 있기 때문에 참고하시면 이해에 큰 도움이 될 것 같습니다.

감사합니다.

>>다음 글 >>적분 https://nomadsjh.tistory.com/43

[수학] 적분의 의미는 무엇일까?