[수학] 적분의 의미는 무엇일까?

>>이전 글 : https://nomadsjh.tistory.com/40
지난번에 미분의 의미에 대해 알아봤습니다.
이번 포스팅에서는 미분에 이어서 "적분이 뭐야?"라는 질문에 대답하기 위해 적분의 의미를 파헤쳐보겠습니다.
내용에 오류가 있을 수 있고 표현이 부족할 수 있습니다.
 

적분

우선 적분은 미분의 반대입니다. 미분의 반대가 곧 적분이기도 하죠.
미적분학의 기본정리1에 따라 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 것을 증명할 수도 있습니다.
>>미적분학의 기본정리1 유도 : https://nomadsjh.tistory.com/21

 
그런데 적분을 단순히 미분의 반대라고만 표현하기에는
적분에 대해 너무 모르고 넘어가는 느낌이 듭니다.
그래서 부정적분과 정적분의 개념을 통해 적분의 의미를 좀 더 자세히 알아보고자 합니다.
사실 정적분의 정의를 적분의 정의로 통칭하는 경우가 많아서
저희는 정적분의 의미에 대해 아는 것이 사실상 궁극적인 목적이 되겠네요.
 
그럼 먼저 부정적분부터 살펴볼까요?
 

• 부정적분

함수 f(x)에 대해 부정적분을 한다는 것은 f(x)를 도함수로 가지는 함수를 구하는 것을 말합니다.
보통 f(x)를 도함수로 가지는 함수를 F(x)라고 하고 f(x)의 부정적분, 원시함수라고 표현합니다.
 
그런데 여기서 '부정적분'의 '부정'은 무슨 뜻일까요?
이 '부정'은 '정해지지 않았다'라는 뜻입니다.
미분했을 때 f(x)가 나오는 함수가 곧 f(x)의 부정적분인데 왜 정해지지 않았다고 표현할까요?
 
지난 미분 포스팅에서 저희는 미분을  순간변화율을 구하는 행위이며
함수의 기울기를 구하는 연산이라고 얘기했습니다.
또한 함수의 기울기는 x값의 변화에 따른 y값의 변화량이기 때문에 기울기의 값에는 변수만 영향을 주죠.
즉, 함수에 더해지는 상수에 의한 평행이동은 미분계수에 영향을 주지 않는다는 것입니다.
그러므로 우리는 F(x)+1과 F(x)+2, F(x)+n(상수)을 미분했을 때 상수는 0이 되어 모두 f(x)를 얻습니다.
 

따라서 f(x)의 부정적분은 상수에 의해 하나로 특정되지 않기 때문에 적분 상수를 사용해 표현해야 합니다.
보통 수학에서 적분 상수는 C라는 기호를 사용합니다.
그래서 다시 한 번 수식적으로 정리하면 다음과 같이 할 수 있겠네요.

위 식에서 보여지는 적분 기호는 인테그랄이라고 불리는 기호입니다.
여기서 인테그랄은 '다 더한다'는 의미를 가지고 있는데 왜 그렇게 쓰이는지는 이따가 정적분에서 살펴보실 수 있습니다.
( ∑와 비슷한 의미)
 
f(x)에 대해서 부정적분은 하나가 아니기 때문에 적분상수 C를 반드시 써줘야 하며
이것이 부정적분의 가장 큰 특징이라고 할 수 있겠습니다.
다시 정리하자면 부정적분을 한다는 것은 f(x)를 도함수로 가지는 함수 F(x)를 구하는 것입니다.
 
부정적분만 보면 적분의 의미에 대해 아직 알기 어렵습니다.
그리고 이 부정적분을 실제로 큰 의미를 내포하고 있다기보다는 정적분을 준비하기 위한 전 단계로 보기도 합니다.
부정적분의 개념에 대해 알았으니 이제 정적분을 알아보겠습니다.
 

• 정적분

정적분이 의미하는 바를 단도직입적으로 말하자면 '함수의 그래프 아래의 면적'을 의미합니다.
갑작스럽게 그래프 아래의 면적이라는 정의가 나와서 당황스럽지만 이게 적분의 의미이고
아래 정적분 식을 이해하신다면 적분에 대해 이해하신 거라고 할 수 있습니다.
 
우선 정적분의 식은 다음과 같습니다. 부정적분의 식에서 'a부터 b까지'라는 구간이 추가된 모습입니다.
이 식으로 어떻게 함수의 그래프 아래의 면적을 구할 수 있는 걸까요?

이 식을 그래프를 통해 설명드리도록 하겠습니다. 아래 그림을 보시죠.

임의의 함수 f(x)의 그래프를 그린 후 그래프 아래 x부터 x+dx 부분을 확대한 모습입니다.
dx를 거의 0에 가깝게 보냈다고 했을 때 dx는 거의 0에 가까운 미소 길이를 의미하는데요.
x값에 따른 y값, 즉 f(x)와 dx를 곱하면 아주 가느다란 직사각형의 넓이를 구할 수 있겠죠?
이번에는 이러한 방식으로 직사각형을 a구간부터 b구간까지 그려볼까요?

그림 솜씨는 형편없지만..

a구간부터 b구간까지 그래프 아래를 직사각형으로 쪼개봤습니다.
만약 저 구간 내의 직사각형 면적을 다 구해서 더한다면
f(x)의 a 부터 b구간까지의 그래프 아래 넓이와 비슷한 넓이를 구할 수 있을 것입니다.
 
위 그림이 보기 좋게 그린 확대 버전이라면 아래 그림은 dx를 진짜 0에 가깝게 그린 그림입니다.
직사각형의 가로인 dx가 0에 아주 가깝기 때문에 사실상 그래프 아래의 면적과 동일하다고 할 수 있습니다.

이제 정적분 식의 의미가 어느 정도 이해가 되실까요?

x를 a부터 b까지 변화시키면서 f(x)에 dx를 곱한 값(아주 작은 직사각형의 넓이)을
전부 더한다는 것이 저 정적분 식의 의미이고
동시에 f(x)의 a부터 b구간까지의 그래프 아래 면적을 구한다는 의미인 것입니다.
정적분의 정의에 대한 식은 다음과 같습니다.

수식이 어려워 보일 수 있지만 위에서 설명한 내용과 같습니다.

그래서 아까 부정적분에서 봤던 것처럼 식을 표현하면 이렇게 됩니다.
이게 정적분의 계산법입니다.

따라서 부정적분에 나왔던 적분 상수가 소거되어 하나로 특정되는 값이 나오게 되죠.
정적분을 부정적분의 차로 간단히 나타낼 수 있는 것입니다.
저 식이 왜 저렇게 되는지는 미적분학의 기본정리2에 의해 증명되지만 제가 따로 다루지는 않겠습니다.
 

• 마무리

정리하자면 적분(정적분)의 의미는 f(x)의 그래프 아래 면적을 구한다는 것입니다.
정적분의 의미를 통해 생성된 식을 풀어서 말해보면 x를 a부터 b까지 변화시키면서
f(x)에 dx를 곱한 값(아주 작은 직사각형의 넓이)을 전부 더한다는 것입니다.
즉, 적분의 의미와 똑같죠.
 
이 글에서는 적분에 대한 수식적인 부분은 많이 배제하고 의미에 대한 내용을 담았습니다.
이러한 의미를 잘 기억하고 계신다면 나중에 수식을 보실 때나 적분을 이용해 길이, 부피 등을
구할 때도 적용할 수 있습니다.
앞으로 여러 성질이나 문제를 공부하시면서 적분을 재밌게 즐기셨으면 좋겠습니다. 
 
감사합니다.